Родился в с. Большегнеушево Рыльского уезда Курской губернии (ныне — Рыльского района Курской области) в крестьянской семье.
Окончил 7 классов. Работал в колхозе.
В Красной Армии с 1939 г. В этом же году окончил курсы младших лейтенантов.
Участник советско-финляндской войны 1939–1940 гг. Командир пулемётной роты 513-го стрелкового полка (113-я стрелковая дивизия, 7-я армия, Северо-Западный фронт) младший лейтенант Сухих в бою 9 февраля 1940 г. овладел опорным пунктом противника и в течение трёх суток удерживал важную в тактическом отношении высоту, отражая вражеские контратаки.
Мужественный офицер получил тяжелое ранение, но продолжал управлять боем роты.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 21 марта 1940 г. «За образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с финской белогвардейщиной и проявленные при этом отвагу и геройство» младшему лейтенанту Сухих Николаю Анисимовичу присвоено звание Герой Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» (№ 164).
С 1940 г. старший лейтенант Сухих — в отставке.
Жил в г. Рыльске. Работал председателем исполкома Рыльского городского совета народных депутатов.
Награды: орден Ленина, медали.
В мае 2001 г. в Рыльске на стене дома, где жил Сухих, в память о нём установлена мемориальная доска.